NCPC 快到了，快兩年沒練題目，演算法也忘的差不多了。今天系內賽遇到 TSP 的題目一直 Wrong Answer，與同學討論時，因為自己已經忘了演算法細節，實在無法為自己的作法爭辯，決定再重新推敲該演算法。

Traveling Salesman’s Problem，中文翻譯滿多種了，有旅行商問題、推銷員問題、貨郎問題等等，所以直接採用英文縮寫 TSP 稱之比較方便！該問題是圖論上的經典問題，目前已被證明為 NP-Hard 問題，有興趣請自行參閱相關資料。另外，TSP 有一特例為 Hamiltonian Cycle，當所有路徑長度都為 1 時，即為 Hamiltonian Cycle 問題。（感謝 DJWS 前輩的指正）

問題描述

某國家共有 N 個城市，有一位商人從自己居住的城市（Src）出發，想走遍每個城市做生意，各城市之間了距離不一，求遍歷每個城市並回到居住城市的最短路程。

解決方法

最直覺的方法是使用 backtracking 暴力搜索所有可能性，並求出最短的距離。雖然直覺又簡單，但時間複雜度也高達 O(N!)，10 個國家就可以另計算量達百萬等級了。在 ACM-ICPC 程式競賽中，若測試資料小於等於 10 或許還是有機會可以過關的！

不過這邊要介紹的是在 ACM-ICPC 程式競賽中更常用的方法－Dynamic Programming。

Algorithm

動態規劃最重要的就是狀態的移轉！我們問題是要遍歷所有城市，並回到商人居住的城市。每一次的遍歷都會使得遍歷過的城市改變，也會使得當前的所在城市改變，可以觀察到有狀態的移轉！

所以在 TSP 中，所求的即為遍歷所有城市，且當前城市為商人居住城市，該狀態的結果。因此我們即可得到狀態轉換方程為：TSP( 已遍歷城市, 當前所在城市 ）→ TSP( 原已遍歷城市＋上一個所待的城市, 下一個未遍歷城市 )。

狀態的初始為未遍歷任何城市，且當前城市為商人居住城市，且行經距離為 0。不過這是理論上的作法，在實作上可能會有不同的考量而作不同得處理。在進行狀態的轉換中，根據轉換的城市須加上當前城市與下一個城市的距離，並求最小值即可。

以下為完整的計算與狀態轉換：

Data Structure

依照上述的轉換方程，可以計算出狀態的數量有 2N × N 種。城市的遍歷與否很明顯的不是已遍歷就是未遍歷兩種，因此 N 個城市就有 2N 種狀態。而當前所在城市就是城市的數量 N。因此可以使用二維作為該演算法的資料結構，城市的遍歷狀態與當前城市作為 index。

而城市的遍歷狀態該如何以數字表示？上面提到城市的遍歷與否僅會存在兩種狀態－已遍歷與未遍歷。因此只要將每個城市的遍歷與否以 bit 表示並串連，就可以得到遍歷狀態的數值。

00010112（自右向左），該狀態表示為已遍歷 0、1 與 3 城市，而其餘城市仍未遍歷。

姑且宣告該陣列為 dp[2N][N]，該陣列意義即為 dp[城市遍歷狀態][當前所在城市]。TSP 所求的解即為 dp[11…1112][Src] 其值。

不過，我認為 dp[11…1112][X]，不管 X 其值為多少都不影響答案，因為 TSP 所求的為商人周遊各城市並回到居住城市的最短路線，必定是一整圈，既然是一整圈，那麼起點為何似乎不太重要？！

但是 TSP 可以做許多延伸，不同的延伸上，起點位置可能會變得很重要！例如：求 Hamiltonian Path，在不需要回到起點的情況下，起點位置就相當重要！

另外，該資料結構的空間複雜度為 O(2N × N)，由於是指數成長，N 到 20 就已經是千萬級的記憶體使用量了，因此該算法僅適用於 N 不大的狀況！

此外使用該資料結構時，會有些許的空間是浪費不會使用的。根據我們陣列的意義，可以發現當前所在城市必會出現於已遍歷城市中，因此 dp[X 城市未遍歷][X] 必定不會計算。可以計算出至少會有 N × 2N - 1 的空間被浪費。

實作

根據上述的轉換方程，可以使用 top-down 的作法來實現。由於使用位元儲存城市的遍歷狀態，每一個位元僅能使用一次。但在 TSP 中，有要求商人從居住城市出發並回到居住城市，按照該要求商人居住城市就遍歷了兩次。為解決該問題，在初始化狀態時，先將 dp[ 2X ][ X ] 的值初始為 length(Src → X) 之值。該初始化的意義為令已遍歷 X 城市且處於 X 城市中，其值為自商人居住城市到 X 的城市之距離，由於商人居住城市不能遍歷兩遍，因此直接將商人出發到第一個城市的距離設定好，即可避免需要從 X 城市回到商人居住城市時，發現不能遍歷的問題！

Pseudo Code

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init
	for i in n
		dp[ 1 << i ][ i ] = length[ source ][ i ]

TSP( visited_status, x )
	if dp[ status ][ x ] is found
		return dp[ status ][ x ]

	for i in n
		if this city i is visited and city is not city x
			dp[ visited_status ][ x ] = min( TSP( visited_status - current city x, i ) + length( city i to city x )
	return dp[ visited_status ][ x ]

Source Code

Source code on gist.

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